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그림에서 입체의 부피는 가운데 구멍이 있는 원통셸 모임의 합으로 근사할 수 있다. 원통셸의 두께가 작으면 작을수록 이 근사값은 실제 부피와 점점 같아진다. 이 근사값의 극한값을 구하는 것이 원통셸 방법이다.
연속 기획
미적분학
정의
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원통셸 방법
(shell method) 또는
원통셸 적분
(Shell integration)은 회전체 축의 수직 축을 따라 적분하여
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를
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하는 방법이다. 이 방법은 회전체 축과 평행한 축을 따라 적분하는
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과는 서로 방배되는 적분 방법이다.
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원통셸 방법은 다음과 같이 이용할 수 있다.
xy
면에 있는 단면을
y
축을 따라 회전하여 생긴 회전체의 부피를 구하는 경우를 생각해보자. 단면 함수가 폐구간 [
a
,
b
]에서 양의 값을 가지는 함수
f
(
x
)로 정의되는 그래프라고 가정하자. 그러면 부피 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
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만약 함수가
y
의 함수로 정의되고 회전축이
x
가 될 경우 공식은 다음과 같이 바뀐다.
2
π
∫
a
b
y
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\mathrm {d} y}
만약 함수가
x=h
또는
y=k
을 회전축으로 잡을 경우, 공식은 다음과 같이 바뀐다.
2
π
∫
a
b
(
x
−
h
)
f
(
x
)
d
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{\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\mathrm {d} x}
그리고
2
π
∫
a
b
(
y
−
k
)
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\mathrm {d} y}
이 식은
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에서
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계산으로 도출할 수 있다.
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닫힌 구간 [1, 2]에서 다음과 같은 식으로 정의된 회전체의 부피를 구하는 법을 생각해 보자.
y
=
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
2
{\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}
이 경우 디스크 방법을 통해서는
x
를
y
에 대해 풀어야 하는 과정을 거쳐야 한다. 이 회전체는 가운데에 구멍이 뚫린 형태이기 때문에 바깥 부분으로 나타나는 부피와 안 부분으로 나타나는 부피 2가지가 도출된다. 디스크 방법은 두 부피를 구한 다음에 바깥 부분 부피에서 안쪽 부분 부피를 빼는 과정을 거쳐야 한다.
반면 원통셸 방법을 사용할 경우 공식은 다음과 같이 정리된다.
2
π
∫
1
2
x
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
2
d
x
{\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x(x-1)^{2}(x-2)^{2}\mathrm {d} x}
다항식을 전개한 후 적분하는 간단한 과정을 거치면 된다. 여기서 우리가 찾는 부피는
π
10
{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}
라는 계산이 나온다.
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